Tangente berechnen e funktion
Kann ich dazu mal ein Beispiel sehen? Setze dazu x = 2 in die Funktion ein:
f(2) = 23 – 6 · 22 + 9 · 2 + 1 = 3
Der Punkt, an dem die Tangente anliegt, ist also (2|3). Klar, gib deine eigenen Beispiele einfach oben ein und sie werden dir sofort kostenlos genauso ausgerechnet.
Du willst wissen, was eine Tangente ist und wie du eine Tangentengleichung aufstellst?
Ja, kannst du. Das Brett wäre also eine Tangente an die Kugel. Sie sieht aus wie eine schräg verlaufende Gerade und du berechnest sie genauso wie jede andere Tangente. An dieser Stelle hat die Tangente die gleiche Steigung wie die Funktion. Dabei steht m für die Steigung der Geraden und t für den y-Achsenabschnitt, also den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.
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Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du die Gleichung aufstellst: Du hast folgende Funktion gegeben und möchtest die Tangente an der Stelle x = 2 berechnen.
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Schritt 1 — Punkt berechnen
Damit du die Tangentengleichung aufstellen kannst, brauchst du zuerst den y-Wert des Berührpunkts.
Die Tangentengleichung entspricht dann dem y-Achsenabschnitt.
Wendetangente berechnen
Auch an einem Wendepunkt gibt es eine Tangente. Den Punkt nennst du daher auch „Berührpunkt“.
Hier schnell zwei Beispiele:
Die grĂĽne Gerade ist keine Tangente, da sie den Graphen schneidet, nicht nur berĂĽhrt.
Findet man eine Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Punkt, dann kann man sagen, dass der Graph in dem Punkt die gleiche Steigung hat wie die Tangente. Wenn man die Tangente an der Stelle x finden will, tut man drei Sachen:
- x in die Funktion einsetzen, dann erhält man schon mal den Punkt, an dem die Tangente berührt
- x in die Ableitung einsetzen, dann erhält man die Steigung m der Tangente
- m und den obigen Punkt in die Geradengleichung einseten, dann erhält man b.
Tangentengleichung bestimmen Rechner
Was ist eine Tangente?
f'(x) = 3x2 – 12x + 9
Schritt 3 — Steigung berechnen
Jetzt setzt du den Wert x = 2 in die Ableitung ein:Â
f'(2) = 3 · 22 – 12 · 2 + 9 = 12 – 24 + 9 = – 3
Die Steigung der Tangente f'(x0) ist also –3.
Schritt 4 — Tangentengleichung aufstellen
Nun kannst du die Tangente berechnen, indem du alle Bausteine in die Tangentengleichung einsetzt.
yt(x) = f'(x0) · (x – x0) + y0
yt(x) = (-3) · (x – 2) + 3ÂDas kannst du noch zusammenfassen zu:
yt (x) = -3x + 6 + 3Â
yt (x) = -3x + 9ÂDie Tangentengleichung an der Stelle x = 2 lautet also yt(x) = -3x + 9
Waagerechte TangenteÂ
Manche Tangenten verlaufen waagerecht. Das passiert immer dann, wenn die Steigung an einer Stelle null ist.
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Wenn die Steigung gleich null ist, heiĂźt das auch, dass die Ableitung an der Stelle null ist:f'(x) = 0.
Die Steigung m ist -3, fĂĽr y setzt du 3 ein und fĂĽr x setzt du 2 ein:
3 = -3 · 2 + t
3 = -6 + tDiese Gleichung löst du nach t auf, indem du auf beiden Seiten plus 6 rechnest:
9 = t
Dein ausgerechnetes t setzt du jetzt in die Gleichung ein. Hier im Beitrag und im Video erklären wir dir Schritt für Schritt, wie es geht!
Quiz zum Thema Tangente
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Tangente einfach erklärtÂ
Die Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in genau einem Punkt berĂĽhrt.
Legt man zum Beispiel eine Kugel auf ein glattes Brett, so berĂĽhrt das Brett die Kugel ja nur, schneidet aber nichts aus ihr heraus. Die rote Gerade ist eine Tangente, da sie den Graphen nur in einem Punkt berĂĽhrt, ohne ihn zu schneiden.
Schritt 2 — Funktion ableiten
Als Nächstes bestimmst du die Ableitung — damit berechnest du die Steigung der Tangente.
Vorsicht, Sonderfall: Eine Tangente in einem Wendepunkt durchquert den Funktionsgraphen sehr wohl.
Nehmen wir das Beispiel von eben, um uns das Ganze einmal Schritt für Schritt anzuschauen — wir berechnen wieder die Tangente an der Stelle x = 2.
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
Schritt 1 — Punkt berechnen
Als Erstes berechnest du wieder den y-Wert des BerĂĽhrpunkts.
Setze dazu x = 2 in die Funktion ein:
f(2) = 23 – 6 · 22 + 9 · 2 + 1 = 3
Der Punkt (x0|y0), an dem die Tangente anliegt, ist also (2|3).
Wie kann man eine Tangente berechnen? Die Tangentengleichung an der Stelle x = 2 lautet also y = -3x + 9.
Tangentengleichung berechnen — die 4 Schritte
- Punkt berechnen
- Ableitung berechnen
- Steigung berechnen
- y-Achsenabschnitt berechnen
Tangentengleichung berechnen mit der PunktsteigungsformÂ
Um die Tangentengleichung zu berechnen, kannst du auch eine spezielle Form dieser Gleichung verwenden, die Punktsteigungsform:
yt(x) = f'(x0) · (x – x0) + y0
Sie sieht zwar anders aus, drĂĽckt aber genau dasselbe wie die normale Geradengleichung aus.
Schritt 2 — Funktion ableiten
Als Nächstes brauchst du die Ableitung der Funktion, damit du die Steigung der Tangente berechnen kannst. Der Unterschied liegt im Verhalten des Funktionsgraphen.
An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung — die Funktion hat dort eine andere Krümmung.
Schauen wir uns das einmal genauer an.
Tangentengleichung berechnen mit der GeradengleichungÂ
Da die Tangente eine Gerade ist, kannst du sie genau wie jede andere Gerade mit der klassischen Geradengleichung y = m · x + t beschreiben. Wenn du genauer wissen willst, wie du die Wendetangente berechnest, schau dirhier unseren Beitrag und unser Video dazu an.
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Wieso sucht man Tangenten von Funktionsgraphen?
DafĂĽr setzt du die Steigung und deinen Punkt (2|3) in deine Gleichung ein.
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f'(x) = 3x2 – 12x + 9
Schritt 3 — Steigung m berechnen
Jetzt setzt du den Wertx = 2 in die Ableitung ein:Â
f'(2) = 3 · 22 – 12 · 2 + 9 = 12 – 24 + 9 = – 3
Die Steigung der Tangente m ist also –3.
Schritt 4 — y-Achsenabschnitt t bestimmen
Nun kannst du den y-Achsenabschnitt berechnen.
Beide sind an dieser Stelle also gleich „steil“.
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Eine Tangente lässt sich mit einer Gleichung beschreiben. Das ist bei Hochpunkten (A), Tiefpunkten (B) oder Sattelpunkten (C) der Fall. Also verwendet man Tangenten oft, um gut über die Steigung eines Funktionsgraphen reden zu können.
Eine Tangenteist eine Gerade, die etwas nur berĂĽhrt, aber nicht schneidet.
Deine Eingabe: Funktion und Punkt 2
Wert 2 in einsetzen:
Also lautet der Punkt (2|4).
Allgemeine Funktion der Tangenten: y=mx+b mit m Steigung, b y-Achsenabschnitt.
Steigung im Punkt (2|4) berechnen.
Dazu x-Koordinate in die Ableitungsfunktion von einsetzen.
Die Ableitung von ist also
2 in einsetzen:
Wert 2 in einsetzen:
Also Tangente: y=10x+b
b herausfinden: Punkt (2|4) in die Tangente einsetzen.
Also ist der y-Achsenabschnitt gleich -16
Tangente also:
Kann ich noch mehr Beispiele sehen?
Du brauchst hier genau wie bei der Geradengleichung einen Punkt, nämlich (x0|y0) und die Steigung f′(x0), also die Ableitung deiner Funktion an dieser Stelle. Trotzdem ist die rote Gerade offenbar die Tangente im Punkt (0|0), da sie die gleiche Steigung wie die Gerade hat.
So berechnet man die Tangente an die Funktion f(x)=x^3-2x fĂĽr x=2.