Bogenmaß winkelgeschwindigkeit
Die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt mit der Umlaufzeit T ist dann gegeben durch
Wobei T die Zeit ist, die für eine Umdrehung benötigt wird.
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Winkelgeschwindigkeit Einheit
Die Winkelgeschwindigkeit ist der Quotient aus der Änderung des Rotationswinkels, gemessen im Bogenmaß, und der benötigten Zeit t, gemessen in Sekunden.
ist die anfängliche Winkelposition. Der lineare Geschwindigkeitsvektor verläuft jedoch tangential zur Bahn der Kreisbewegung.
Winkelgeschwindigkeit und Lineargeschwindigkeit hängen mathematisch zusammen. Die Radialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung sind senkrecht zueinander.
Der Basisvektor ist immer tangential zu Bahntangente und zeigt in die radiale Richtung. Um die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit zu berechnen, muss also die Differenz zwischen der Endwinkelposition und der Anfangswinkelposition durch die Differenz zwischen der Endzeit und der Anfangszeit geteilt werden.
Kurz gesagt lautet die Formel zur Berechnung der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit :
Gold:
ist die Winkelgeschwindigkeit.
Wir werden dann sehen, wie die Winkelgeschwindigkeit jeweils berechnet wird. Hier findest du alles Wichtige graphisch aufbereitet.
Quiz zum Thema Winkelgeschwindigkeit
5 Fragen beantworten
Winkelgeschwindigkeit
(00:13)
Die Winkelgeschwindigkeit ist eine vektorielle Größe und beschreibt in der Physik die zeitlicheÄnderung eines Winkels.
Die Winkelgeschwindigkeit hingegen ist für alle Gegenstände auf der Scheibe gleich, da sie alle in derselben Zeit T eine Rotation von zurücklegen. Somit gilt, dass
Damit lässt sich die Winkelgeschwindigkeit in Zylinder– oder Kugelkoordinaten einfach berechnen.
Berechnung in Zylinderkoordinaten
Betrachten wir zuerst die Winkelgeschwindigkeit in Zylinderkoordinaten.
Wie groß ist die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit dieses Körpers?
Zuerst müssen wir bestimmen, wie viele Bogenmaße drei vollständigen Umdrehungen entsprechen, um die Winkelverschiebung des Körpers zu ermitteln.
ist die Winkelbeschleunigung. Berechnet man den Geschwindigkeitsbetrag, so erhält man dasselbe Ergebnis wie im vorherigen Beispiel
Im Folgenden gehen wir darauf ein, wie man die Kreisgeschwindigkeit in dreiDimensionenberechnen kann.
ist der Anfangsmoment.
Obwohl wir bei Problemen normalerweise die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit berechnen müssen, könnte es für uns andererseits interessant sein, die momentane Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen. Das liegt daran, dass der Radius größer ist. Der Modul des Vektors ist der Wert der Winkelgeschwindigkeit und die Richtung des Vektors wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt.
Winkelgeschwindigkeitsformel
Die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit ist gleich der Winkelverschiebung (Δθ) dividiert durch das Zeitinkrement (Δt).
ist die Winkelgeschwindigkeit. An verschiedenen Beispielen wird deutlich gemacht, wie man die Winkelgeschwindigkeitberechnet.
Berechnung mittels Bahngeschwindigkeit
Betrachtet man zum Beispiel eine Scheibe, die sich mit konstanter Geschwindigkeit dreht, so bewegen sich Gegenstände auf der Scheibe umso schneller, desto weiter sie vom Rotationsmittelpunkt entfernt sind.
Für die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit erhält man somit . Sie wird dann in $\frac1s$ angegeben.
Beispiel
Ein Uhrzeiger braucht für eine halbe Runde auf der Uhr 30 Sekunden.
Die Winkeländerung bei einer halben Runde beträgt $\pi$.
Daraus folgt:
$\omega=\frac{\pi}{30s}$
$\omega=\frac{\pi}{30} \frac1s$
!
Merke
Dabei gehen wir von folgendem Ortsvektor aus
Hieraus ergeben sich die Basisvektoren
Berechnet man analog zum vorherigen Beispiel die Geschwindigkeit durch Differentiation von nach t und setzt das Ergebnis in die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ein, so erhält man
Mit dieser Formel kann man die Winkelgeschwindigkeit in Kugelkoordinaten berechnen.
Winkelgeschwindigkeit Frequenz
Die Winkelgeschwindigkeit kann auch in Abhängigkeit der Frequenz ausgedrückt werden.
ist die Frequenz einer gleichmäßigen Kreisbewegung.
Bedenken Sie, dass bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, andernfalls handele es sich um eine andere Art von Bewegung. Mit ihnen lassen sich Rotationsbewegungen, wie zum Beispiel die Rotation der Erde, beschreiben.
Um die gesamte Thematik für dich noch anschaulicher darzustellen, haben wir ein Video für dich erstellt.
Damit lassen sich das Bogenmaß und das Gradmaß einfach ineinander umrechnen. \(\;\) Einheit: \([s]\)
Frequenz
Frequenz \(f\) (oder Umdrehungszahl \(U\)) = Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit:
\[ f = \frac{1}{T} \hspace{1cm} [1/s] \hspace{1.5cm} (1) \]Beispiel\(T = 0.5 \; s \rightarrow f = 2 / s\) ( Eine Umdrehung in \(T = 0.5 \; s\) ergibt eine Frequenz von \(\;f = 2 / s\))
Winkelgeschwindigkeit
Wenn sich ein Körper auf einer ebenen Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) bewegt, kann diese mit (der ebenfalls konstanten) Umlaufzeit \(T\) verknüpft werden.
für den Winkel \(\theta = 2 \pi\) bzw. Wir haben daher \(\theta(t) = \frac{2 \pi}{T} \cdot t\). Radiant ist die Länge des Kreisbogens am Einheitskreis, der dem Winkel \(\theta\) entspricht:
Wir können also die folgende Verhältnisgleichung aufschreiben:
\[ \frac{rad}{2 \pi} = \frac{\theta}{360^o} \]
Daraus folgen die Umrechnungsformeln:
\[ \theta = \frac{rad}{\pi} \cdot 180^o \hspace{0.8cm} \text{bzw.} \hspace{0.7cm} rad = \frac{\theta}{180^o} \cdot \pi \]
Daraus lassen sich wiederum schnell einige spezielle Werte ableiten:
| \(45^o\) | \(\pi / 4\) |
| \(90^o\) | \(\pi / 2\) |
| \(180^o\) | \(\pi\) |
| \(360^o\) | \(2 \pi\) |
Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung bei krummlinigen Bewegungen
Hiermit ist die Bewegung eines Körpers gemeint, bei der sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors \(\vec{v}\) ändert.
Diese Beschleunigung wird Radialbeschleunigung genannt. Es beschreibt den Winkel als Kreisbogen auf einem Einheitskreis. Eine Umdrehung entspricht 2π Bogenmaß, also sind drei Umdrehungen:
Als nächstes konvertieren wir die verstrichene Zeit in Sekunden, damit sie im Internationalen Einheitensystem ausgedrückt wird:
Und schließlich verwenden wir die Formel für die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit, um ihren Wert zu ermitteln:
Winkelgeschwindigkeit und Lineargeschwindigkeit
Abschließend werden wir sehen, was die Unterschiede zwischen Winkelgeschwindigkeit und Lineargeschwindigkeit sind, da es sich um zwei kinematische Konzepte handelt, über die wir uns im Klaren sein müssen.
Der Unterschied zwischen Winkelgeschwindigkeit und Lineargeschwindigkeit besteht darin, dass die Winkelgeschwindigkeit die Geschwindigkeit ist, mit der sich ein Körper dreht, während die Lineargeschwindigkeit die Geschwindigkeit ist, mit der sich ein Körper vorwärts bewegt.
Daher hat ein Körper, der eine Kreisbewegung beschreibt, eine Winkelgeschwindigkeit und eine Lineargeschwindigkeit.
Das Drehmoment steht (laut Definition) senkrecht auf \(\vec{r}\) und \(\vec{F}\) (siehe Wikipedia). Handelt es sich bei der Bahnkurve um eine Kreisbahn, dann steht \(\vec{v}\) immer senkrecht auf \(\vec{r}\), d.h. ist dabei die Änderung des Winkels pro Zeiteinheit, sodass dies gerade die Winkelgeschwindigkeit darstellt, also .
ist der Radius der Bahn der Kreisbewegung.
Winkelgeschwindigkeit
Bei Kreisen gibt es mehrere Geschwindigkeiten, die Bahngeschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit.
\(360^o\)). Die Winkelgeschwindigkeit kannst du bei gegebener Bahngeschwindigkeit berechnen mit
Berechnung in Polarkoordinaten
Als nächstes Beispiel werden wir die Winkelgeschwindigkeit einer Kreisbewegung in Polarkoordinaten darstellen und zeigen, wie man die Winkelgeschwindigkeit berechnet.